I Olimpiadas Bolivarianas y XIX Olimpiadas Colombianas de Matemáticas
PRUEBA CLASIFICATORIA NACIONAL
NIVEL INTERMEDIO - GRADOS 8 y 9
Marzo 16, 2000
XIX Olimpiadas Colombianas de Matemáticas Nivel Intermedio
Este no es un examen de colegio. No se trata de pasar o perder. No se
espera que hagas todos los problemas. (Si lo logras, ¡verdad que estás muy bien!) Lo
importante es que cada problema que tu haces representa una verdadera victoria.
Si hay un problema que no resuelves, no hay que preocuparte, Los problemas que no alcances
a hacer ahora, los podrás hacer
después. ¡Manos a la obra!
1. En el año 2001, los Estados Unidos serán sede de la Olimpiada Internacional de
Matemáticas (IMO). Sean I, M y O números enteros positivos
distintos tales que I . M . O = 2001. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener
la suma I+M+O?
2. 2000(20002000) =
3. Cada día María José se comía el 20% de los dulces que estaban en su jarrita de
dulces al comenzar el día. Al finalizar el segundo día, le quedaban 32 dulces.
¿Cuántos dulces había originalmente en la jarrita?
4. Por el servicio de acceso a internet Alejandra paga una tarifa mensual fija mas una
cantidad por tiempo de uso. Su cuenta en el mes de diciembre fue de $124,800, pero en
enero la cuenta fue de $175,400 porque incluía el doble de tiempo de uso que en
diciembre. ¿Cuál es la tarifa mensual fija que Alejandra paga?
5. Los puntos M y N son puntos medios de los lados PA y PB del PAB.
Mientras P recorre una línea recta paralela al lado AB, ¿cuántas de
las siguientes cantidades varían?
(A) La longitud del segmento MN
(B) El perímetro de
(C) El área de 
(D) El área del trapecio ABNM
6. La sucesión de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21, comienza por dos 1s, y cada
término a partir del tercero es la suma de los dos términos anteriores. ¿Cuál de los
diez dígitos es el último en aparecer en la posición de las unidades de un número de
la sucesión de Fibonacci?
7. En el rectángulo ABCD, AD = 1, P está sobre 
trisecan 
¿Cuál es el perímetro de 
8. En el Colegio Olímpico, las 
partes de los estudiantes de octavo grado y
las 
partes de los de noveno grado tomaron parte en La Prueba
Clasificatoria Nacional de Nivel Intermedio. Dado que el número de concursantes
de octavo grado era igual al número de concursantes de noveno grado, ¿cuál de los
siguientes enunciados es necesariamente verdadero?
(A) El número total de estudiantes en noveno es cinco veces el número de estudiantes
en octavo grado.
(B) El número total de estudiantes en noveno es el doble del número de estudiantes de
octavo.
(C) Hay igual número de estudiantes en octavo y noveno grados.
(D) El número total de estudiantes de octavo es el doble del número de estudiantes de
noveno.
(E) El número total de estudiantes de octavo grado es cinco veces el número de
estudiantes de noveno.
9. Si 
, donde x <2, entonces x-p=
10. Las longitudes de los lados de un triángulo con área positiva son 4, 6
y x. Las longitudes de los lados de un segundo triángulo con área
positiva son 4,6 y y. ¿Cuál es el menor número positivo que no es un
valor posible para 
?
11. Se seleccionan dos números primos diferentes entre 4 y 18. Luego se resta la suma
de los dos números de su producto. ¿Cuál de los siguientes números podría ser el
resultado?
12. Las figuras 0,1,2 y 3 constan de 1,5,13 y 25 cuadrados unitarios que no se traslapan (superponen). Si se continúa este patrón, ¿cuántos cuadrados unitarios (no superpuestos) habría en la figura 100?
13. Hay 5 clavijas amarillas, 4 clavijas rojas, 3 verdes, 2 azules y 1 anarajada que se
van a colocar en un tablero triangular. ¿De cuántas maneras pueden colocarse las
clavijas de tal modo que ninguna fila (horizontal) ni ninguna columna (vertical) contenga
dos clavijas del mismo color?
14. La Sra. Walter aplicó un examen en un curso de matemáticas con cinco estudiantes.
Ella digitó las notas al azar en "una hoja electrónica'', que calculaba la nueva
nota promedio del curso después de que se digitara cada nota. La Sra. Walter se dio
cuenta de que, después de digitar cada nota, el promedio calculado era un número entero.
Las notas de los cinco estudiantes (dadas en orden ascendente) fueron 71,76,80,82
y 91. ¿Cuál fue la última nota que la Sra. Walter digitó?
15. Los dos números reales a y b son diferentes de cero y satisfacen
ab = a-b. ¿Cuál de los siguientes es un valor posible para la
expresión ?
16. En el diagrama se muestran 28 puntos reticulares, cada uno de los cuales dista una
unidad de sus vecinos más cercanos. El segmento AB se interseca con el segmento CD
en el punto E. Hallar la longitud del segmento AE.
17. Boris tiene una máquina increible que da cambio para monedas. Por ejemplo, cuando
se le introduce una moneda de 25 pesos, la máquina devuelve cinco monedas de 5 pesos;
cuando se le introduce una moneda de 5 pesos, la máquina devuelve cinco monedas de 1
peso; y cuando se le introduce una moneda de 1 peso, la máquina devuelve cinco monedas de
25 pesos. Boris comienza con una sola moneda de 1 peso. ¿Cuál de las siguientes
cantidades podría tener Boris después de usar la máquina repetidamente?
18. Carolina camina completamente alrededor de la frontera de un cuadrado cada uno de
cuyos lados tiene longitud 5,km. Desde cualquier punto de su trayectoria, ella puede ver
exactamente 1,km horizontalmente en cualquier dirección. ¿Cuál es el área, expresada
en kilómetros cuadrados y redondeada al número entero más próximo, de la región que
consta de todos los puntos que Carolina puede ver durante su caminata?
19. Por un punto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo se trazan líneas
rectas paralelas a los catetos del triángulo de tal modo que se subdivide el triángulo
en un cuadrado y dos triángulos rectángulos más pequeños. El área de uno de los
triángulos rectángulos pequeños es igual a m por el área del cuadrado. La
razón entre el área del otro triángulo rectángulo pequeño y el área del cuadrado es
20. Sean A, M y C enteros no negativos tales que A+M+C=10.
¿Cuál es el valor máximo que puede tener 
21. Si todos los gusigús son criaturas feroces y algunos de los animales que se
arrastran son gusigús, ¿cuál(es) de los siguientes enunciados es(son) necesariamente
verdadero(s)?
I. Todos los gusigús son animales que se arrastran.
II. Algunas de las criaturas feroces son animales que se arrastran.
III. Algunos de los gusigús no son animales que se arrastran.
22. Una cierta mañana cada uno de los miembros de la familia de Angela tomó una
mezcla de 8 onzas de café con leche. Las cantidades de café y de leche variaban de taza
en taza, pero ninguna era cero. Angela se tomó una cuarta parte de la cantidad total de
leche y una sexta parte de la cantidad total de café. ¿Cuántas personas hay en la
familia?
23. Cuando se arreglan la media aritmética, la mediana y la moda de la lista
10,2,5,2,4,2,x
en orden creciente, los números forman una progresión aritmética no constante.
¿Cuál es la suma de todos los posibles valores reales para x?
24. Sea f una función para la cual 
Hallar la suma de todos
los valores de z para los cuales f(3z)=7.
25. En el año N, el día 300 del año cae un martes. En el año N+1,
el día 200 del año también cae un martes. ¿Qué día de la semana cae el día 100 del
año N-1?
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