. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener
la suma I+M+O?
I Olimpiadas Bolivarianas y XIX Olimpiadas Colombianas de Matemáticas
PRUEBA CLASIFICATORIA NACIONAL
NIVEL SUPERIOR - GRADOS 10 y 11
Marzo 16, 2000
XIX Olimpiadas Colombianas de Matemáticas Nivel Superior
Este no es un examen de colegio. No se trata de pasar o perder. No se
espera que hagas todos los problemas. (Si lo logras, ¡verdad que estás muy bien!) Lo
importante es que cada problema que tu haces representa una verdadera victoria.
Si hay un problema que no resuelves, no hay que preocuparte, Los problemas que no alcances
a hacer ahora, los podrás hacer
después. ¡Manos a la obra!
1. En el año 2001, los Estados Unidos serán sede de la Olimpiada Internacional de
Matemáticas (IMO). Sean I, M y O números enteros positivos
distintos tales que . ¿Cuál es el mayor valor que puede tener
la suma I+M+O?
2. 2000(20002000)=
3. Cada día María José se comía el 20% de los dulces que estaban en su jarrita de dulces al comenzar el día. Al finalizar el segundo día, le quedaban 32 dulces. ¿Cuántos dulces había originalmente en la jarrita?
4. La sucesión de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21, ... comienza por dos 1s, y cada término a partir del tercero es la suma de los dos términos anteriores. ¿Cuál de los diez dígitos es el último en aparecer en la posición de las unidades de un número de la sucesión de Fibonacci?
5. Si 
, donde x <2, entonces x-p=
6. Se seleccionan dos números primos diferentes entre 4 y 18. Luego se resta la suma
de los dos números de su producto. ¿Cuál de los siguientes números podría ser el
resultado?
7. Cuántos números enteros positivos b tienen la propiedad de que logb 729 es un entero positivo?
8. Las figuras 0,1,2 y 3 constan de 1,5,13 y 25 cuadrados unitarios
que no se traslapan (superponen). Si se continúa este patrón, ¿Cuántos cuadrados
unitarios (no superpuestos) habría en la figura 100?
9. La Sra. Walter aplicó un examen en un curso de matemáticas con cinco estudiantes.
Ella digitó las notas al azar en una "hoja electrónica", que calculaba la
nueva nota promedio del curso después de que se digitara cada nota. La Sra. Walter se dio
cuenta de que, después de digitar cada nota, el promedio calculado era un número entero.
Las notas de los cinco estudiantes (dadas en orden ascendente) fueron 71,76,80,82
y 91. ¿Cuál fue la última nota que la Sra. Walter digitó?
10. Se refleja el punto P=(1,2,3) en el plano-xy. Luego su imagen Q
se rota por un ángulo de 180° alrededor del eje-x para obtener el punto R.
Finalmente se traslada R cinco unidades en la dirección positiva del eje-y
para obtener el punto S. ¿Cuáles son las coordenadas de S?
11. Los dos números reales a y b son diferentes de cero y satisfacen
ab=a-b. ¿Cuál de los siguientes es un valor posible para la expresión 
12. Sean A, M y C enteros no negativos tales que A+M+C=12.
¿Cuál es el valor máximo de 
13. Una cierta mañana cada uno de los miembros de la familia de Angela tomó una
mezcla de 8 onzas de café con leche. Las cantidades de café y de leche variaban de taza
en taza, pero ninguna era cero. Angela se tomó una cuarta parte de la cantidad total de
leche y una sexta parte de la cantidad total de café. ¿Cuántas personas hay en la
familia?
14. Cuando se arreglan la media aritmética, la mediana y la moda de la lista
10,2,5,2,4,2,x
en orden creciente, los números forman una progresión aritmética no constante.
¿Cuál es la suma de todos los posibles valores reales para x?
15. Sea f una función para la cual 
. Hallar la suma de todos los
valores de z para los cuales f(3z)=7.
16. Un tablero de ajedrez de 13 filas y 17 columnas tiene un número escrito en cada
casilla, comenzando en la esquina superior izquierda, de tal modo que la primera fila
está numerada 1,2, ..., 17, la segunda fila 18,19, ..., 34 y así sucesivamente en
todas las filas del tablero. Si se vuelve a numerar las casillas del tablero de tal modo
que la columna de la izquierda se numera de arriba a abajo 1,2, ..., 13, la segunda
columna 14,15, ..., 26, y así sucesivamente en todas las columnas del tablero, sucede que
algunas casillas tienen el mismo número en ambos sistemas de numeración. Hallar la suma
de los números en estas casillas (en cualquiera de los dos sistemas).
17. Una circunferencia con centro en O tiene radio 1 y contiene el punto A.
El segmento AB es tangente a la circunferencia en A y ÐAOB= q. Si el
punto C está sobre 
y si 
ÐABO, entonces OC=
18. En el año N, el día 300 del año cae un martes. En el año N+1,
el día 200 del año también cae un martes. ¿Qué día de la semana cae el día 100 del
año N-1?
19. En 
. Sean D el punto medio de 
y el punto de
intersección de 
con la bisectriz del ÐBAC. ¿Cuál de los siguientes números es más próximo
al área del triángulo ADE?
20. Si x,y y z son números que satisfacen
entonces xyz=
21. Por un punto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo se trazan líneas
rectas paralelas a los catetos del triángulo de tal modo que se subdivide el triángulo
en un cuadrado y dos triángulos rectángulos más pequeños. El área de uno de los
triángulos rectángulos pequeños es igual a m por el área del cuadrado. La
razón entre el área del otro triángulo rectángulo pequeño y el
área del cuadrado es
22. La gráfica muestra una porción de la curva definida por el polinomio cuártico P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d.
¿Cuál de los siguientes tiene el menor valor?
¿Para cuál de los siguientes enunciados se obtiene el menor valor?
23. El Profesor Aposta compra una boleta de lotería que le exige seleccionar seis
números enteros diferentes entre 1 y 46, inclusive. El escoge sus números de tal modo
que la suma de los logaritmos en base 10 de sus seis números sea un número entero.
Sucede que los seis enteros en la boleta ganadora tienen la misma propiedad, o sea, la
suma de sus logaritmos en base 10 es un entero. ¿Cuál es la probabilidad de que el
Profesor Aposta tenga la boleta ganadora?
24. Si los arcos de circunferencia AC y BC tienen centros en B
y A, respectivamente, entonces existe una circunferencia que es tangente tanto a 
como a 
y a 
. Si la longitud de 
es 12, entonces la
longitud de la circunferencia tangente es
25. Se usan ocho triángulos equiláteros congruentes, cada uno de un
color diferente, para construir un octaedro regular. ¿Cuántas formas distinguibles hay
para construir el octaedro? (Dos octaedros coloreados son distinguibles si ninguno de los
dos puede rotarse hasta que parezca ser idéntico al otro.)
