XVI Olimpiadas Colombianas de Matemáticas

PRUEBA CLASIFICATORIA NACIONAL

NIVEL SUPERIOR

Marzo 18, 1997

Esta prueba fue aplicada el pasado año en la XVI Olimpiada Colombiana de Matemáticas. El tiempo reglamentario era de 90 minutos. Señale en cada pregunta la respuesta correspondiente. Al final haga click en "Mi resultado". La calificación que obtendrá es la que corresponde al sistema de las olimpiadas. La fórmula de la calificación es P=5C + 2B, donde C es el número de respuestas correctas y B el número de respuestas no contestadas.

Pregunta No. 1

Si a y b son dígitos para los cuales

    2  a
x   b  3
__________
    6  9
 9  2
__________
 9  8  9

Entonces a+b=

(A) 3 (B) 4 (C) 7 (D) 9 (E) 12

Pregunta No. 2

Los lados adyacentes del decágono que se muestra en el diagrama forman ángulos rectos. ¿Cuál es su perímetro?

(A) 22 (B) 32 (C) 34 (D) 44 (E) 50

Pregunta No. 3

Si x, y y z son números reales tales que

(x-3)2+(y-4)2+(z-5)2=0,

entonces x+y+z=

(A) -12 (B) 0 (C) 8 (D) 12 (E) 50

Pregunta No. 4

Si a es mayor que 50% y b es mayor que c en un 25%, entonces ¿En qué porcentaje es a mayor que b?

(A) 20% (B) 25% (C) 50% (D) 100% (E) 200%

Pregunta No. 5

Se divide un rectángulo de perímetro 176 en cinco rectángulos congruentes tal como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es el perímetro de uno de estos cinco rectángulos congruentes?

(A) 35.2 (B) 76 (C) 80 (D) 84 (E) 86

Pregunta No. 6

Considere la sucesión

1,-2,3,-4,5,-6,...

cuyo término n-ésimo es (-1)n+1·n.¿Cuál es la medida aritmética (promedio) de los primeros 200 términos de la sucesión?

(A) -1 (B) -0.5 (C) 0 (D) 0.5 (E) 1

Pregunta No. 7

La suma de siete enteros es –1. De estos siete enteros, ¿Cuál es la mayor cantidad que pueden ser mayores que 13?

(A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

Pregunta No. 8

La editorial Mientka designa el precio de su último libro ¿Dónde se encuentra Walter? Como sigue:

donde n es el número de libros pedidos, y C(n) es el costo en pesos de n libros. Nótese que el costo de 25 libros es menor que el costo de 24 libros. ¿Para cuántos valores de n resulta más barato comprar más de n libros que comprar exactamente n libros?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

Pregunta No. 9

En la figura, ABCD es un cuadrado 2x2, E es el punto medio de AD y F está en BE. Si CF es perpendicular a BE entonces el área del cuadrilátero CDEF es

(A) 2 (B)  (C) 11/5 (D)  (E) 9/4

Pregunta No. 10

Dos dados cúbicos son justos en el sentido que, al lanzarse, cada una de las seis caras tiene la misma probabilidad de resultar como cara superior. Sin embargo, en uno de los dados el número 4 ha sido reemplazado por el 3 y en el otro el número 3 ha sido reemplazado por el 4. Cuándo se lanzan estos dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma obtenida sea impar?

(A) 1/3 (B) 4/9 (C) 1/2 (D) 5/9 (E) 11/18

Pregunta No. 11

En los partidos sexto, séptimo, octavo y noveno de la temporada de baloncesto, una cierta jugadora anotó 23,14,11 y 20 puntos respectivamente. Su promedio de puntos por partido es mayor después de nueve partidos de lo que fue después de los primeros cinco partidos. Si su promedio después de diez partidos es mayor que 18, ¿cuál es el menor número de puntos que ella pudo haber anotado en el décimo partido?

(A) 26 (B) 27 (C) 28 (D) 29 (E) 30

Pregunta No. 12

Si m y b son números reales y mb > 0, entonces la línea recta con ecuación y = mx+b no puede contener el punto.

(A) (0,1997) (B) (0,-1997) (C) (19,97) (D) (19,-97) (E) (1997,0)

Pregunta No. 13

¿Cuántos números enteros positivos N de dos dígitos tienen la propiedad de que la suma de N y el número que se obtiene al escribir los dígitos de N en orden inverso es un cuadrado perfecto?

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

Pregunta No. 14

Se incrementa el número de gansos pertenecientes a un cierto grupo de tal modo que la diferencia entre la población en el año n+2 y la población en el año n es directamente proporcional a la población en el año n+1. Si la población en los años 1994, 1995 y 1997 es de 39,60 y 123, respectivamente, entonces la población en 1996 fue de

(A) 81 (B) 84 (C) 87 (D) 90 (E) 102

Pregunta No. 15

Las medianas BD y CE del triángulo ABC son perpéndiculares, BD = 8 y CE = 12. El area del triángulo ABC es

(A) 24 (B) 32 (C) 48 (D) 64 (E) 96

Pregunta No. 16

Las sumas de los números en cada una de las tres filas y en cada una de las tres columnas del arreglo

son iguales. ¿Cuál es el menor número de elementos del arreglo que se deben cambiar de posición para que todas las seis sumas sean diferentes?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Pregunta No. 17

La recta x = k interseca la gráfica de y = log5x y la gráfica de y = log5(x+4).

La distancia entre los puntos de intersección es 0.5. Dado que donde a y b son enteros, a qué es igual a+b?

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10

Pregunta No. 18

La moda de una lista de números enteros es 32 y la media (aritmética) es 22. El menor número de la lista es 10. La mediana m de la lista es un número de la lista. Si en lugar del miembro m de la lista se colocara m+10, la media y la mediana de la nueva lista serían 24 y m +10, respectivamente. Pero si en lugar de m se colocara m-8, la mediana de la nueva lista sería m-4.

¿A qué es igual m?

(A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 19 (E) 20

Pregunta No. 19

Un círculo con centro O es tangente a los ejes de coordenadas y a la hipotenusa del triángulo ABC con ángulos 30o 60o y 90o tal como se muestra en el diagrama, donde AB = 1. El radio del círculo calculado a la centésima más próxima es

(A) 2.18 (B) 2.24 (C) 2.31 (D) 2.37 (E) 2.41

Pregunta No. 20

¿Cuál de los siguientes números enteros puede escribirse como la suma de 100 enteros positivos consecutivos?

(A) 1.627'384.950 (B) 2.345'678.910 (C) 3.579'111.300 (D) 4.692'581.470 (E) 5.815'937.260

Pregunta No. 21

Para cualquier entero positivo n sea

¿A qué es igual ?

(A) log82047 (B) 6 (C) 55/3 (D) 58/3 (E) 585

Pregunta No. 22

Augusta, Beatriz, Carlos, David y Esteban van de compras. Cada uno tiene un número entero de pesos para gastar, y entre todos tienen $56. La diferencia absoluta entre las cantidades que tienen Augusta y Beatriz es de $19. La diferencia absoluta entre las cantidades que tienen Beatriz y Carlos es de $7, entre Carlos y David es de $5, entre David y Esteban es de $4, entre Esteban y Augusta es de $11. ¿Cuántos pesos tiene Esteban?

(A) $6 (B) $7 (C) $8 (D) $9 (E) $10

Pregunta No. 23

En la figura los polígonos A, E y F son triángulos rectángulos isósceles; B, C y D son cuadrados de lado 1; y G es un triángulo equilátero. Se puede doblar la figura a lo largo de sus aristas (lados) para formar un poliedro que tiene por caras los polígonos. El volumen de este poliedro es

(A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 5/6 (E) 4/3

Pregunta No. 24

Un número ascendente es un entero positivo tal que cada uno de sus dígitos es mayor que cada uno de los dígitos a su izquierda. Ejemplo: 34689. Hay números ascendentes con cinco dígitos. Cuando se ordenan estos números de menor a mayor, el que ocupa el puesto 97 en la lista no contiene el dígito

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

Pregunta No. 25

Sea ABCD un paralelogramo y sean AA', BB', CC', y DD' rayos paralelos en el espacio que estén en el mismo lado del plano determinado por ABCD. Si AA' = 10, BB' = 8, CC' = 18, DD' = 22, y M y N son los puntos medios de A'C' y B'D' respectivamente, entonces MN =

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Pregunta No. 26

Se dan el triángulo ABC y el punto P en el mismo plano. El punto P equidista de A y de B, el ángulo APB es el doble del ángulo ACB, y AC interseca BP en el punto D. Si PB=3 y PD=2, entonces AD*CD=

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

Pregunta No. 27

Considere las funciones f que satisfacen la igualdad

f(x+4)+f(x-4)=f(x)

para todo número real x. Cada una de estas funciones es periódica y existe un menor período positivo común p para todas ellas. Hallar p.

(A) 8 (B) 12 (C) 16 (D) 24 (E) 32

Pregunta No. 28

¿Cuántas triplas ordenadas (a,b,c) de números enteros satisfacen

|a + b| + c = 19 y ab + |c| = 97?

(A) 0 (B) 4 (C) 6 (D) 10 (E) 12

Pregunta No. 29

Un número real positivo se llama especial si su representación decimal consta únicamente de los dígitos 0 y 7. Por ejemplo, 77/99 = 7.07 = 7.070707... y 77.007 son números especiales. ¿Cuál es el menor n tal que 1 puede escribirse como suma de n números especiales?

(A)  7 (B)  8 (C)  9 (D)  10

(E)  1 no puede ser representado como la suma de un número finito de números especiales

Pregunta No. 30

Sean n un entero positivo y D(n) número de pares de dígitos adyacentes diferentes en la representación binaria (en base 2) de n. Por ejemplo, D(3) = D(112) = 0, D(21) = D(101012) = 4, y D(97) = D(11000012) = 2. ¿Para cuántos números enteros n menores o iguales a 97 se tiene que D(n) = 2?

(A) 16 (B) 20 (C) 26 (D) 30 (E) 35

Esta y otras pruebas con sus soluciones las puede conseguir en Publicaciones de Matemáticas.

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