XVII OLIPIADA COLOMBIANA DE MATEMATICAS
NIVEL INTERMEDIO
MARZO DE 1.998
Un consejo antes de comenzar.
Este no es un examen de colegio. No se trata de pasar o perder.
No se espera que hagas todos
los problemas. (Si lo logras, ¿verdad que estas muy bien!) Lo
importante es que cada problema que tú haces representa una
verdadera victoria.
Si hay un problema que no resuelves, no hay que preocuparte, pues
no pierdes puntos. Así que anímate a mostrar tus capacidades.
Los problemas que no alcanzas a hacer ahora, los podrá hacer
después. ¡Manos a la obra!
Se escribe un número en cada lado de cinco rectángulos congruentes, tal como se muestra en el diagrama. Se colocan estos cinco rectángulos, sin rotarlos o reflejarlos, en las posiciones I a V de modo que los números de lados que coinciden sean iguales.
¿Cuál de los rectángulos se encuentra en la posición I?
2. Ana selecciona un número de dos dígitos, luego resta el número que ella ha escogido de 200 y finalmente duplica este último resultado. ¿Cuál es el mayor número que Ana puede obtener como respuesta?
3. El área (en centímetros cuadrados) del cuadrado más pequeño que puede contener un círculo de radio 4 cm es
4. Sean a y b
números positivos tales que 
es una fracción menor que 1.
Entonces 
5. El diagrama muestra las
calles de San José de la Loma. Los sitios de interés turístico
se encuentran en los puntos A, B, C, D, E, F, G y la
estación de buses se encuentra en el punto Z.
Marcos y su hermana llegan al punto A y Marcos quiere
recorrer todos los puntos de interés mientras que su hermana
decide solamente caminar por el muro del pueblo, pasando por X
y Y. Ambos terminarán su recorrido en la estación de
buses. ¿En qué orden debe Marcos visitar los puntos de interés
sin emprender un recorrido mayor que su hermana?
6. Sea R un rectángulo. ¿Cuántos círculos que están en el mismo plano que R tienen un diámetro cuyos dos extremos son vértices de R?
7. En Sorpresilandia el año dura lo mismo que el nuestro, los días de la semana son los mismos pero allí no hay meses sino que las fechas son los números desde 1 hasta 365. así el 1° de enero es el día 1, el 1° de febrero es el día 32=31+1. Siete amigos cumplen años en días de la semana diferentes. Ellos sumaron las fechas de sus respectivos cumpleaños y dividieron el resultado por 7 y obtuvieron un residuo. ¿Cuál es el residuo?
8. En la esquina de una caja cuadrada de lado entero se coloca una ficha de lado 1 con una flecha (orientada hacia arriba) dibujada en ella como se muestra en la figura. La ficha se va girando sobre sí misma de manera que ruede, sin deslizarse, sobre los lados de la caja. Da cierto número de vueltas y vuelve a A. ¿Cómo queda la ficha?
9. Hay muchos múltiplos de 7 que se escriben con dos dígitos, pero la suma de los dos dígitos es 10 para sólo dos de estos múltiplos. ¿Cuál es la suma de estos dos múltiplos?
10. Si el producto 
, ¿Cuál es
el valor de la suma a + b?
11. Se subdivide el cuadrado grande en un cuadrado pequeño rodeado por cuatro rectángulos congruentes tal como se muestra. El perímetro de cada uno de los rectángulos congruentes es 14. ¿Cuál es el área del cuadrado grande?
12. Si [a,b,c]
representa la operación 
, donde 
¿Cuál es el valor de
13. Un cubo de plata de dimensiones 4cm x 4cm x4cm pesa 3 libras y vale $200,000. ¿Cuánto vale un cubo de plata de dimensiones 6cm x 6cm x 6cm?
14. Si 21998 – 21997 + 21995 = k x 21995, ¿Cuál es el valor de k?
15. En la sucesión 6, x, y, 16 los primeros tres términos están en progresión aritmética y los últimos tres términos están en progresión geométrica. ¿Cuál es el menor valor que y puede tener?
16. Se triseca (divide en tres partes iguales) cada lado del cuadrado mayor del diagrama. Las esquinas (vértices) del cuadrado inscrito son puntos de trisección, tal como se muestra. La razón entre el área del cuadrado inscrito y el área del cuadrado mayor es
17. La semana pasada, el precio de las cajitas pequeñas de pañuelos faciales en el supermercado fue de 4 cajas por $5000. Esta semana están en realización a 5 cajas por $4000. El porcentaje de descuento en el precio de cada caja es más próximo a
18. Cada uno de dos palos verticales de diferentes alturas tienen un aparato en su parte superior que dirige un rayo láser a la base del otro palo. Si los rayos se cruzan en un punto a una altura de 24 metros del suelo y si el menor de los palos tiene una altura de 40 metros, ¿Cuál es la altura del palo mayor?
19. Un orador habló durante sesenta minutos a un auditorio lleno. El 20% de la audiencia oyó todo el discurso y el 10% se durmió durante todo el discurso. La mitad de los oyentes restantes oyó la tercera parte del discurso y la otra mitad de los oyentes restantes oyó las dos terceras partes del discurso. ¿Cuál es el número promedio de minutos del discurso que los miembros de la audiencia oyeron?
20. Si se escribe 1998 como producto de dos enteros positivos tales que la diferencia entre ellos sea la menor posible, entonces esta diferencia es
21. Priscila Precisa compra $100000 de acciones en cada una de tres compañías, Almendras de Arauca (AA), Balones de Boyacá (BB) y Cítricos del Cesar (CC). Un año después las acciones de AA habían incrementado un 20% en valor, las de BB había descendido en un 25% y las de CC permanecían iguales. Después del segundo año, las acciones de AA habían descendido en un 20% respecto del año inmediatamente anterior, las de BB habían incrementado en un 25% respecto del año inmediatamente anterior y las de CC permanecían iguales. Si A, B y C representan lo que tiene Priscila después del segundo año en acciones de AA, BB y CC, respectivamente, entonces
22. Tres tubos de diámetro 1 m se unen como se muestra en la figura, por una banda metálica ajustada completamente. La longitud, en metros, de esta banda metálica es más próxima a
23. Walter lanza cuatro dados (comunes de seis caras) y resulta que el producto de los números que muestran las cuatro caras superiores de los dados es 144. ¿Cuál de los siguientes números no puede ser la suma de los números en las cuatro caras superiores?
24. Hay números enteros positivos que tienen las siguientes propiedades. La suma de los cuadrados de sus dígitos es 50, y Cada dígito es mayor que el dígito a su izquierda.
El producto de los dígitos del mayor entero con ambas propiedades es
25. En un juego entre dos personas, los jugadores se turnan tomando 1, 2, 3, 4 o 5 palillos de una pila hasta que no quede ningún palillo. Pierde el jugador que toma el último palillo de la pila. Inicialmente hay 1000 palillos en la pila. ¿Cuántos palillos debe tomar el primer jugador en el primer turno para garantizar su victoria (si sigue jugando lo mejor posible)?
26. El diagrama muestra el triángulo ABC inscrito en una circunferencia. Se han trazado las bisectrices AD, BE y CF de los ángulos del triángulo. Sea X el punto de intersección del los segmentos AD y EF. Sobre el ángulo DXE se sabe
27. El número 15 tiene exactamente 4 divisores, a saber, 1,3,5,15. Hay algunos números que tienen exactamente 3 divisores. El producto de todos los números enteros positivos menores que 100 que tienen exactamente 3 divisores es
28. Susana toma todos los números pares entre 2 y 98, inclusive, salvo los que terminan en 0, y los multiplica. ¿Cuál es el dígito en las unidades (dígito de la derecha) del producto?
29. En una sucesión de hexágonos regulares, cada nuevo hexágono a excepción del primero se forma uniendo los puntos medios de los lados del hexágono anterior. Si el perímetro del primer hexágono es 64, ¿Cuál es el perímetro del quinto hexágono en la sucesión?
30. Un cubo de dimensiones 9x9x9 está compuesto por 27 cubos de dimensiones. Se hacen túneles en el cubo grande como sigue: Primero se remueven los seis cubos de 3x3x3 que corresponden a los centros de cada una de las caras, así como el cubo central de 3x3x3, tal como se muestra. Luego se remueve parte de cada uno de los restantes veinte cubos 3x3x3 de manera similar, es decir, se remueven los cubos unitarios correspondientes a cada una de las caras de éstos, además de remover su cubo unitario central. El área de superficie de la figura final es
Esta y otras pruebas con sus soluciones las puede conseguir en Publicaciones de Matemáticas.