XVII OLIMPIADAS COLOMBIANAS DE MATEMÁTICAS
PRUEBA CLASIFICATORIA NACIONAL
NIVEL SUPERIOR
MARZO 31, 1998
Un consejo antes de comenzar.
Este no es un examen de
colegio. No se trata de pasar o perder. No se espera que hagas
todos los problemas. (Si lo logras, ¡verdad que estás muy
bien!) Lo importante es que cada problema que tu haces representa
una verdadera victoria.
Si hay un problema que no resuelves, no hay que preocuparte, pues
no pierdes puntos. Así que anímate a mostrar tus capacidades.
Los problemas que no alcanzas a hacer ahora, los podrás hacer
después. Manos a la obra!
1.
Se escribe un número en cada lado de cinco rectángulos congruentes, tal como se muestra en el diagrama. Se colocan estos cinco rectángulos, sin rotarlos o reflejarlos, en las posiciones I a lados que coinciden sean iguales ¿Cuál de los rectángulos se V de modo que los números de encuentra en la posición I?
2. Las letras A, B, C, y D representan cuatro dígitos diferentes seleccionados del conjunto 0,1,2,dots,9. Si (A+B)/(C+D) es un entero y además tiene el mayor valor posible, ¿cuál es el valor de A+B?
3. Si a, b, y c son dígitos para los cuales
entonces a + b + c =
4. Si 
representa la operación 
, donde 
¿cuál
es el valor de
5. Si 21998 –21997 –21996 +21995 = k*21995, ¿cuál es el valor de k?
6. Si se escribe 1998 como producto de dos enteros positivos tales que la diferencia entre ellos sea la menor posible, entonces esta diferencia es
7. Si N >1,
entonces 
8. Un cuadrado con lados de longitud 1 se subdivide en dos trapecios congruentes y un pentágono, cuyas áreas son iguales, uniendo el centro del cuadrado con puntos sobre tres de los lados, tal como se muestra. Hallar x, la longitud de la base mayor de los trapecios.
9. Un orador habló durante sesenta minutos a un auditorio lleno. El 20% de la audiencia oyó todo el discurso y el 10% se durmió durante todo el discurso. La mitad de los oyentes restantes oyó la tercera parte del discurso y la otra mitad de los oyentes restantes oyó las dos terceras partes del discurso. ¿Cuál es el número promedio de minutos del discurso que los miembros de la audiencia oyeron?
10. Se subdivide el cuadrado grande en un cuadrado pequeño rodeado por cuatro rectángulos congruentes tal como se muestra. El perímetro de cada uno de los rectángulos congruentes es 14. ¿Cuál es el área del cuadrado grande?
11. Sea R un rectángulo. ¿Cuántos círculos que están en el mismo plano que R tienen un diámetro cuyos dos extremos son vértices de R?
12. ¿cuántos números primos diferentes son divisores de N si
13. Walter lanza cuatro dados (comunes de seis caras) y resulta que el producto de los números que muestran las cuatro caras superiores de los dados es 144. ¿cuál de los siguientes números no puede ser la suma de los números en las cuatro caras superiores?
14. Una parábola tiene
vértice en (4,-5) y tiene dos puntos de intersección con
el eje x, uno positivo y el otro negativo. Si esta
parábola corresponde a la gráfica de 
entre a, b, y c,
¿cuál(es) debe(n) ser positivo(s)?
15. Un hexágono regular y un triángulo equilátero tienen áreas iguales. ¿cuál es la razón entre la longitud de un lado del triángulo y la longitud de un lado del hexágono?
16. La figura que se muestra es la unión de un círculo y dos semicírculos de diámetros a y b, cuyos centros son todos colineales. La razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada es
17. Sea f(x) una función con las dos propiedades siguientes:
(a) para cualquier par de números reales x y y, f(x+y) = x+f(y);
(b) f(0) = 2.
¿Cuál es el valor de f(1998)?
18. Un cono circular recto de volumen A, un cilindro circular recto de volumen M, y una esfera de volumen C tienen todos el mismo radio, y la altura común del cono y del cilindro es igual al diámetro de la esfera. Entonces
19. ¿Cuántos triángulos cuya área es 10 tienen vértices en (-5,0),(5,0), y (5cosq ,5sinq) para algún ángulo q?
20. Se colocan tres cartas, boca abajo, sobre una mesa, cada una de las cuales tiene un entero positivo escrito en ella. Se comunica a Carlos, Samuel y Tomás lo siguiente,
(a) todos los números escritos en las cartas son diferentes,
(b) la suma de estos números es 13, y
(c) están en orden creciente de izquierda a derecha.
Primero Carlos mira el número escrito en la carta del extremo izquierdo y dice, "No tengo información suficiente para determinar los otros dos números." Luego Tomás mira el número escrito en la carta del extremo derecho y dice, "No tengo información suficiente para determinar los otros dos números." Finalmente Samuel mira el número escrito en la carta del medio y dice, "No tengo información suficiente para determinar los otros dos números." Suponiendo que cada uno de ellos sabe que los otros dos razonan perfectamente y escucha los comentarios de ellos, ¿cuál es el número escrito en la carta del medio?
21. En una carrera de h metros, Sol se encuentra exactamente d metros por delante de Wendy cuando Sol cruza la raya final. En la siguiente oportunidad en que apuestan carreras, Sol deportivamente comienza d metros mas atrás que Wendy, quien se encuentra en la raya de largada. Las dos corren esta segunda carrera de h metros con las mismas velocidades constantes que tuvieron en la primera. ¿Cuántos metros delante de Wendy se encuentra Sol cuando Sol termina la segunda carrera?
22. ¿cuál es el valor de la expresión
23. La gráficas de 
y 
se
intersecan cuando
k satisface 
y no se
intersecan para ningún otro valor de k Hallar b-a.
24. Llámese memorable un número telefónico de 7 dígitos d1d2d3-d4d5d6d7 si la sucesión de prefijo d1d2d3 es exactamente igual a cualquiera de las sucesiones d4d5d6 o d5d6d7 (o posiblemente a ambas). Suponiendo que cada dígito di puede ser cualquiera de los diez dígitos decimales 0,1,2, ...9, la cantidad de números telefónicos memorables distintos es
25. Se dobla una hoja de papel milimetrado una vez de manera que el punto (0,2) coincide con el punto (4,0), y (7,3) coincide con (m,n). Hallar m+n.
26. En el cuadrilátero ABCD, si se sabe que Ð A=120°, los ángulos B y D son rectos, AB=13, y AD=46. Entonces AC=
27. Un cubo de dimensiones 9 x 9 x 9 está compuesto por 27 cubos de dimensiones 3 x 3 x 3. Se hacen túneles en el cubo grande como sigue: Primero se remueven los seis cubos de 3 x 3 x 3 que corresponden a los centros de cada una de las caras, así como el cubo central de 3 x 3 x 3, tal como se muestra. Luego se remueve parte de cada uno de los restantes veinte cubos 3 x 3 x 3 de manera similar, es decir, se remueven los cubos unitarios correspondientes a cada una de las caras de éstos, además de remover su cubo unitario central.
El área de superficie de la figura final es
28. En el triángulo ABC,
el ángulo C es recto y CB.CA. D es un punto
sobre 
tal que el ángulo CAD es el doble del ángulo
DAB. Si AC/AD=2/3, entonces CD/BD=m/n, donde
m y n son enteros positivos primos relativos.
Hallar m+n.
29. Un punto (x,y) en el plano cartesiano se llama punto reticular si x y y son ambos enteros. El área del mayor cuadrado que contiene exactamente tres puntos reticulares en su interior es mas próxima a
30. Para cada entero positivo n, sea
Además, sea k el menor entero positivo para el cual el último dígito diferente de cero (leyendo de izquierda a derecha) de a_k es impar. Ese último dígito diferente de cero de a_k es
Esta y otras pruebas con sus soluciones las puede conseguir en Publicaciones de Matemáticas.