XVII OLIMPIADA COLOMBIANA DE MATEMATICAS
PRUEBA CLASIFICATORIA NACIONAL
PRIMER NIVEL
MARZO DE 1.998
Un consejo antes de comenzar.
Este no es un examen de colegio. No se trata de pasar o perder.
No se espera que hagas todos los problemas. (Si lo logras, ¡verdad que estás muy bien!) Lo importante es que cada problema que tu haces representa una verdadera victoria.
Si hay un problema que no resuelves, no hay que preocuparte, pues no pierdes puntos. Así que anímate a mostrar tus capacidades. Los problemas que no alcanzas a hacer ahora, los podrás hacer después. Manos a la obra!
1.
2. Ana selecciona un número de dos dígitos, luego resta el número que ella ha escogido de 200 y finalmente duplica este último resultado. ¿Cuál es el mayor número que Ana puede obtener como respuesta?
3. ¿Cuál de los siguientes números es el mayor?
4. Juliana está preparando un discurso para su grado. El discurso debe tener una duración entre media hora y tres cuartos de hora. Lo ideal es pronunciar 150 palabras por minuto. Si Juliana da su discurso hablando a esta tasa ideal, ¿cuál de los siguientes representa el número ideal de palabras que debe tener su discurso?
5. Hay muchos múltiplos de 7 que se escriben con dos dígitos, pero los dos dígitos suman 10 sólo en el caso de dos de estos múltiplos. ¿Cuál es la suma de estos dos múltiplos?
6. En el número 74982.1035 el valor posicional del dígito 9 es cuántas veces el valor posicional del dígito 3?
7. El área (en centímetros cuadrados) del cuadrado más pequeño que puede contener un círculo de radio 4 cm es
8. Walter se levanta a las 6:30 am, el bus del colegio pasa por él a las 7:30 am, toma seis clases que duran 50 minutos cada una, le dan 30 minutos para almorzar y tiene otras 2 horas de tiempo libre en el colegio. Vuelve a casa en el bus del colegio y llega a casa a las 4:00 pm.
¿Cuántos minutos ha pasado en el bus?
9. Tres estudiantes, con diferentes nombres, hacen fila para almorzar. ¿Cuál es la probabilidad de que estén parados en orden alfabético por nombre de adelante hacia atrás en la fila?
10. ¿Qué parte de la región cuadrada está sombreada? Las tiras son del mismo ancho y la figura está dibujada a escala.
11. Sea N la cantidad de números enteros y positivos que son divisores de N. Por ejemplo, 3 = 2 porque 3 tiene dos divisores enteros positivos, a saber, 1 y 3. Hallar el valor de
12. Ð 1 + Ð
2 = 180°
Ð 3 = Ð 4
Hallar la medida de Ð 4.
13. Tres bolsas contienen 26,28 y 30 dulces cada una. La razón entre el número de dulces de naranja y el número total de dulces en cada bolsa es el 50%, el 25% y el 20%, respectivamente. Se vacía el contenido de las tres bolsas en un plato. ¿Cuál de los siguientes está más próximo a la razón entre el número de dulces de naranja y el número total de dulces en el plato?
14. Hay un conjunto de cinco enteros positivos cuyo promedio (media aritmética) es 5, cuya mediana es 5 y cuya única moda es 8. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor de los enteros en el conjunto?
15. Se triseca (divide en tres partes iguales) cada lado del cuadrado mayor del diagrama. Las esquinas (vértices) del cuadrado inscrito son puntos de trisección, tal como se muestra. La razón entre el área del cuadrado inscrito y el área del cuadrado mayor es
16. Priscila Precisa compra $100.000 de acciones en cada una de tres compañías, Almendras de Arauca (AA), Balones de Boyacá (BB) y Cítricos del Cesar (CC). Un año después las acciones de AA habían incrementado un 20% en valor, las de BB había descendido en un 25% y las de CC permanecían iguales. Después del segundo año, las acciones de AA habían descendido en un 20% respecto del año inmediatamente anterior, las de BB habían incrementado en un 25% respecto del año inmediatamente anterior y las de CC permanecían iguales. Si k, B y C representan lo que tiene Priscila después del segundo año en acciones de AA, BB y CC, respectivamente, entonces
17. Un cubo tiene ocho vértices (esquinas) y doce aristas (bordes). Un segmento, como el marcado con x en el diagrama, que no es una arista y que une dos vértices, se llama una diagonal. El segmento marcado con y también es una diagonal. ¿Cuántas diagonales tiene un cubo?
18. La semana pasada, el precio de las cajitas pequeñas de pañuelos faciales en el supermercado fue de 4 cajas por $5000. Esta semana están en realización a 5 cajas por $4000. El porcentaje de descuento en el precio de cada caja es más próximo a
19. Si el producto 
¿cuál es
el valor de la suma a + b?
20. Cada dado de un par de dados de ocho caras tiene sus caras numeradas de 1 a 8. Al ser lanzados, cada cara tiene la misma probabilidad de resultar como cara superior. La probabilidad de que el producto de los dos números en las caras superiores sea mayor que 36 es
21. Se remueve cada cubo esquinero del cubo de dimensiones K del diagrama. El área de superficie de la figura que resulta es
22. Un cubo de plata de dimensiones 4.cm x 4.cm x 4.cm pesa 3 libras y vale $200.000. ¿Cuánto vale un cubo de plata de dimensiones 6.cm x 6.cm x 6.cm?
23. Hay números enteros positivos que tienen las siguientes propiedades.
La suma de los cuadrados de sus dígitos es 50, y Cada dígito es mayor que el dígito a su izquierda.
El producto de los dígitos del mayor entero con ambas propiedades es
24. El diámetro ACE del diagrama está dividido por el punto C en razón 2:3. Los dos semicírculos ABC y CDE dividen la región circular en una región superior (sombreada) y una región inferior (no sombreada). La razón entre el área de la región superior y el área de la región inferior es
25. Susana toma todos los números pares entre 2 y 98, inclusive, salvo los que terminan en 0, y los multiplica. ¿Cuál es el dígito en las unidades (dígito de la derecha) del producto?
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