XVIII OLIMPIADAS COLOMBIANAS DE MATEMATICAS
PRUEBA CLASIFICATORIA NACIONAL
NIVEL INTERMEDIO - GRADOS 8 Y 9
ABRIL DE 1999
Este no es un examen de colegio. No se trata de pasar o perder. No se espera que hagas todos los problemas. (Si lo logras, ¡verdad que estás muy bien!) Lo importante es que cada problema que tu haces representa una verdadera victoria. Si hay un problema que no resuelves, no hay que preocuparte, pues después. ¡Manos a la obra!
1. Para x=7, de las siguientes fracciones ¿cuál es de menor valor?
2.
3. ¿cuál de los siguientes números es el mayor?
4. Cuando se ubican los
puntos correspondientes a los números 
y 
en la recta real, el
número que corresponde al punto medio entre ellos es
5. 100 x 19.98 x 1.998 x 1000=
6. Un cuadrado de papel de s centímetros de lado se corta en seis partes cuyas áreas miden 11, 12, 13, 14, 15 y 16 centímetros cuadrados respectivamente. Entonces s=
7. Cada una de las letras W,X,Y
y Z representa un entero diferente del conjunto {1,2,3,4},
pero no necesariamente en ese orden. Si
, entonces la suma de W
y Y es
8.
9. Hallar la suma de todos los números primos entre 2 y 100 que son a la vez 1 más que un múltiplo de 5 y 1 menos que un múltiplo de 6.
10. El precio de venta de un abrigo era menor en un 40% al precio sugerido por el fabricante. Alicia compró el abrigo en una Realización de Aniversario por la mitad de su precio de venta. ¿En qué porcentaje es menor el valor que pagó Alicia por el abrigo con respecto al precio sugerido por el fabricante?
11. ¿cuál es la suma de las cifras del producto 21999 x 52000 cuando éste se escribe en su representación decimal usual?
12. ¿cuál es la mayor cantidad de ángulos obtusos que puede tener un cuadrilátero?
13. ¿cuál es la razón entre el área del cuadrado sombreado y el área del cuadrado grande? (Se ha dibujado el diagrama a escala.)
14. Al finalizar el año 1994 la edad de Walter era un medio de la edad de su abuela. La suma de los años en que nacieron los dos es 3844. Cuántos años tendrá Walter a finalizar el año 1999?
15. Antes de que Amalia saliera a dar un paseo de dos horas, el kilometraje de su carro mostraba el número 27972, que es un número palíndrome (un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda). Cuando llegó a su destino, la lectura del kilometraje era otro palíndrome. Si Amalia jamás excedió el límite de velocidad de 75 km/hr. ¿cuál de los siguientes números representa el promedio de velocidad de Amalia en el paseo?
16. En la Escuela Secundaria de Santa Ana, el 30% de los estudiantes que pertenecen al Club de Matemáticas, pertenecen también al Club de Ciencias y el 80% de los estudiantes que pertenecen al Club de Ciencias pertenecen también al Club de Matemáticas. Hay 15 estudiantes que pertenecen al Club de Ciencias. ¿Cuántos estudiantes pertenecen al Club de Matemáticas?
17. Oscar tiene una gran cantidad de bloques rectangulares de madera de tres tamaños diferentes (ta l como se aprecia en el diagrama) que siempre coloca en posición horizontal.
¿De cuántas maneras diferentes puede construir con ellos un muro entre los puntos A y B?
18. Un triángulo tiene sus vértices en los puntos A = (3,22), B = (15, 13) y C = (27,29), del plano cartesiano. El área, en unidades cuadradas, del triángulo ABC es
19. Tamara selecciona al azar dos números diferentes del conjunto {8,9,10} y luego los suma. Carlos selecciona al azar dos números diferentes del conjunto {3,5,6} y luego los multiplica. ¿cuál es la probabilidad de que el resultado que obtiene Tamara sea mayor que el resultado que obtiene Carlos?
20. Teresita produce una sucesión de números enteros positivos siguiendo las tres reglas que se encuentran a continuación. Ella comienza con un entero positivo, aplica la regla apropiada y obtiene un resultado. Enseguida aplica la regla apropiada a este resultado y continúa de la misma manera.
Una sucesión que se construye con estas reglas es: 23, 18, 9, 81, 76,...
Hallar el término que ocupa el 98° lugar en la sucesión cuyos primeros dos términos son 98, 49,...
21. Un tablero rectangular con 8 columnas tiene las casillas numeradas, comenzando en la esquina superior izquierda y procediendo de izquierda a derecha de modo que las casillas de la primera fila se numeran de 1 a 8, las de la segunda fila de 9 a 16, y así sucesivamente. Un estudiante sombrea la casilla numerada con 1, luego salta una casilla y sombrea la casilla 3, luego salta dos casillas y sombrea la casilla 6, salta tres casillas y sombrea la casilla 10, y continúa de esta manera hasta que haya al menos una casilla sombreada en cada columna.
En el momento que esto acontece, ¿qué número corresponde a la última casilla que se debe sombrear?
22. Tres amigos generosos, cada uno con algún dinero en efectivo en sus bolsillos, redistribuyen su dinero como sigue. Amalia da suficiente dinero a Julián y a Martín para duplicar la cantidad que cada uno de ellos tiene. Julián luego da suficiente dinero a Amalia y a Martín para duplicar la cantidad que cada uno de ellos tiene en ese momento. Finalmente Martín da a Amalia y a Julián suficiente dinero para duplicar las cantidades que tienen. Si Martín tiene 36.000 cuando comienzan y 36.000 cuando terminan, ¿cuál es la cantidad total de dinero que tienen los tres amigos?
23. ¿cuál es el área, en centímetros cuadrados, de un círculo inscrito en un rombo con diagonales de longitudes 6 cm y 8 cm?
24. En un concierto cuatro niñas, María, Anita, Tamara y Elena, interpretaron canciones organizadas en diferentes tríos, de modo que en cada canción una de las niñas no actuaba. Elena cantó 8 canciones y fue la que mas cant¢. María interpretó 5 canciones y fue la que menos cant¢. En total ¿cuántas canciones interpretaron los tríos de niñas?
25. Considere todos los
triángulos ABC que satisfacen las siguientes condiciones:
AB = AC,D es un punto sobre 
para el cual 
,
y 
son
longitudes enteras, y 
. Entre todos los tri ngulos que
satisfacen estas condiciones, ¿cuál es el menor valor que AC
puede tomar?
26. Si a,b,c son números enteros positivos tales que 7(a+b+c)=abc, ¿cuál es el menor valor que a+b+c puede tener?
27. Se circunscribe un círculo alrededor de un triángulo de lados 3,4 y 5, de modo que el interior del círculo queda subdividido en cuatro regiones. Sean A,B y C, las reas de las regiones no triangulares, siendo C la de mayor rea. Entonces
28. En la sucesión 52,53,a,b,c,19,99,... cada término después del tercero es la suma de los tres términos inmediatamente anteriores. El valor de b es
29. ABCDEF es un hexágono equiangular tal que AB=1, BC=3, CD=2 y DE=3. El área del hexágono es
30. Se dan cinco puntos sobre una circunferencia. Se seleccionan al azar cuatro de las cuerdas que unen dos de los cinco puntos. ¿cuál es la probabilidad de que las cuatro cuerdas formen un cuadrilátero convexo?
Esta y otras pruebas con sus soluciones las puede conseguir en Publicaciones de Matemáticas.