y 
XVIII OLIMPIADAS COLOMBIANAS DE MATEMATICAS
PRUEBA CLASIFICATORIA NACIONAL
NIVEL SUPERIOR - GRADOS 10 Y 11
ABRIL DE 1999
Este no es un examen de colegio. No se trata de pasar o perder. No se espera que hagas todos los problemas. (Si lo logras, ¡verdad que estás muy bien!) Lo importante es que cada problema que tu haces representa una verdadera victoria. Si hay un problema que no resuelves, no hay que preocuparte, pues después. ¡Manos a la obra!
1. 1-2+3-4+...-98 +99 =
2. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?
3. Cuando se ubican los
puntos correspondientes a los números y
en la recta real, el número que corresponde al punto medio entre ellos es
4. Hallar la suma de todos los números primos entre 1 y 100 que son a la vez 1 más queun múltiplo de 4 y 1 menos que un múltiplo de 5.
5. El precio de venta de un libro era menor en un 30% al precio sugerido por la editorial.
Alicia compró el libro en una Realización de Aniversario por la mitad de su precio de venta.
¿En qué porcentaje es menor el valor que pagó Alicia por el libro con relación al precio
sugerido por la editorial?
6. ¿Cuál es la suma de las cifras del producto 21999.52001 cuando éste se escribe en su representación decimal usual?
7. ¿Cuál es la mayor cantidad de ángulos agudos que puede tener un hexágono convexo?
8. Al finalizar el año 1994 la edad de Walter era un medio de la edad de su abuela.
La suma de los años en que nacieron los dos es 3838. ¿Cuántos años tendrá Walter al finalizar el año 1999?
9. Antes de que Amalia saliera a dar un paseo de tres horas, el kilometraje de su carro mostraba el número 29792, que es un palíndrome (un número que se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda). Cuando llegó a su destino, la lectura del kilometraje era otro palíndrome. Si Amalia jamás excedió el límite de velocidad de 75 km/hr, ¿cuál de los siguientes representa el mayor promedio de velocidad que Amalia pudo haber tenido en el paseo?
10. Un sobre sellado contiene un cartón con una sola cifra escrita en él. Tres de las afirmaciones siguientes son verdaderas y la otra afirmación es falsa.
I. La cifra es 1.
II. La cifra no es 2.
III. La cifra es 3.
IV. La cifra no es 4.
¿Cuál de las siguientes es necesariamente correcta?
11. Se numeran consecutivamente los lockers de los estudiantes del Bachillerato Olímpico comenzando por el locker número 1. Los dígitos hechos en plástico que se utilizan para tal efecto cuestan dos pesos cada uno. Entonces, cuesta 2 pesos rotular el locker 9 y 4 pesos rotular el locker 10. Si cuesta $13 794 rotular todos los lockers, ¿cuántos lockers de estudiantes hay en el colegio?
12. ¿Cuál es el máximo número posible de puntos de intersección de las gráficas de dos funciones polinómicas diferentes y=p(x) y y=q(x), cada una de grado cuatro y tales que el coeficiente de x4 en cada una es igual a 1?
13. La sucesión 
satisface
que 
y
para
todo
.
Entonces 
es igual a
14. En un concierto cuatro niñas, María, Anita, Tamara y Elena, interpretaron canciones organizadas en diferentes tríos, de modo que en cada canción una de las niñas no actuaba. Elena cantó 7 canciones y fue la que mas cantó. María interpretó 4 canciones y fue la que menos cantó. En total, ¿cuántas canciones interpretaron los tríos de niñas?
15. Sea x un número real tal que sec x - tan x=2. Entonces sec x + tan x=
16. ¿Cuál es el radio del círculo inscrito en un rombo con diagonales de longitudes
10 cm y 24 cm?
17. Sea P(x) un polinomio tal que cuando P(x) es dividido por x-19, el residuo es 99, y cuando P(x) es dividido por x-99 el residuo es 19. ¿Cuál es el residuo cuando P(x) es dividido por (x-19)(x-99)?
18. ¿Cuántas raíces tiene
la ecuación 
en el intervalo 0<x<1?
19. Considere todos los triángulos ABC que satisfacen las siguientes condiciones:
AB=AC, D es un
punto sobre 
para el cual 
AD y CD son longitudes enteras, y (BD)2
=57. Entre todos los triángulos que satisfacen
estas condiciones, ¿cuál es el menor valor que AC puede
tomar?
20. La sucesión 
satisface
que 
y,
para todo 
es la media aritmética de los primeros n-1
términos. Hallar 
.
21. Se circunscribe un círculo alrededor de un triángulo de lados 20, 21 y 29 de modo que el interior del círculo quede subdividido en cuatro regiones. Sean A, B y C las áreas de las regiones no triangulares, siendo C la de mayor área. Entonces
22. Las gráficas de 
y 
se
intersecan en los puntos (2,5) y (8,3). Hallar a+c.
23. ABCDEF es un hexágono convexo tal que AB=1, BC=4, CD=2 y DE=4. El área del hexágono es
24. Se dan seis puntos sobre una circunferencia. Se seleccionan al azar cuatro de las cuerdas que unen dos de los seis puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro cuerdas formen un cuadrilátero convexo?
25. Existen enteros únicos 
tales
que
donde 
para i=2,3,...,7.
Hallar 
26. En un plano hay tres polígonos regulares que no se traslapan (superponen). Al menos dos de los polígonos son congruentes. Todos los lados de los polígonos tienen longitud 1. Los polígonos comparten el vértice A de tal modo que la suma de los tres ángulos interiores en A es 360°. De este modo los tres polígonos forman un nuevo polígono con el punto A en su interior. ¿Cuál es el mayor perímetro que este nuevo polígono puede tener?
27. En el triángulo ABC, 3 A + 4 B=6 y 3 sen B+ 3cos A = 1. Entonces la medida en grados de C es
28. Sea 
una
sucesión de números enteros tal que
para 
y 
Sean m y M, respectivamente,
el mínimo y el máximo valor posible de 
Entonces, M/m =
29. Un tetraedro cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros tiene una esfera inscrita en él y otra esfera circunscrita a su alrededor. Para cada una de las cuatro caras, hay una esfera tangente externamente a la cara en su centro e internamente a la esfera circunscrita al tetraedro.
Se selecciona al azar un punto P en el interior de la esfera circunscrita. La probabilidad de que P esté en el interior de una de las cinco esferas más pequeñas es más próxima a
30. El número de parejas
ordenadas de números enteros (m,n) para las cuales 
y
Esta y otras pruebas con sus soluciones las puede conseguir en Publicaciones de Matemáticas.