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XVII COMPETENCIAS REGIONALES DE MATEMATICAS
Martes 29 de septiembre, 1998
NIVEL SUPERIOR
1. El valor de 
es
2. La mayor cantidad de días lunes que pueden darse en un período de 45 días consecutivos es
3. El valor de 
es
4. Si 
, entonces T es igual a
5. Si m es un número impar y n es un número par, ¿cuál de los siguientes es un número impar?
6. El área de la región delimitada por x + y = 6, y = 4, x = 0 y y = 0 es
7. Si pq = 21, ; qr = 132, y rp = 77, y p > 0, entonces p es igual a
8. Un rayo de luz es emitido por una fuente puntual S, se refleja en un espejo en el punto P, y llega a un punto T tal que PT es perpendicular a RS. Entonces x es
9. El mayor valor que 1-2 cos A puede tomar es
10. El valor de es 
11. El mayor divisor de 723, diferente de él mismo, es
12. En el triángulo rectángulo 
, 
y
el arco con centro en P y radio PR corta a PQ en S.
La razón entre el área de PRS y el área de RSQ es
13. Si se puede sentar un pasajero adelante y tres pasajeros atrás en un cierto taxi, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden acomodar cuatro pasajeros en el taxi si uno de los pasajeros se niega a sentarse adelante?
14. Los triángulos PQR, PRS tienen
ángulos rectos en Q,R respectivamente. Los ángulos QPR y RPS
son iguales. Si 
entonces la longitud, en centímetros, de PR,
es
15. Para todos los números enteros positivos x y y tales que
el mayor valor que y puede tomar es
16. Juan y Julia tienen cada uno un recipiente que contiene 1 L de agua. El primer día Juan vierte 1 mL de agua de su recipiente al recipiente de Julia. El segundo día Julia vierte 3 mL de agua de su recipiente al recipiente de Juan. El tercer día Juan vierte 5 mL de su propio recipiente al recipiente de Julia, y así sucesivamente, cada día uno de ellos vierte 2 mL más de agua de lo que recibió del otro el día anterior. El volumen, en mililitros, del agua que tendrá Juan en su recipiente al terminar el día 101 es
17. La suma de las raíces distintas de la ecuación
es
18. ¿Cuántos triángulos de formas y tamaños diferentes pueden formarse si sus tres vértices se seleccionan entre los vértices de un cierto cubo?
19. Se rota un hexágono regular de lado 2 cm alrededor de la diagonal XY. El volumen, en centímetros cúbicos, del sólido que se produce es
20. ¿cuántos años del siglo XXI tendrán la propiedad de que, si se divide el número del año por cada uno de los números 2, 3, 5 y 7 siempre se obtiene residuo 1?
21. Usando cada uno de a,b y c
como dígito, se puede formar el número de cuatro dígitos 8abc.
Invirtiendo estos dígitos se obtiene el número de cuatro dígitos cba8.
Si a > b > c y 8abc - cba8 = 7623, ¿cuántas ternas (
a,b,c ) son posibles?
22. ¿cuántas soluciones reales tiene la ecuación
23. En el trapecio PQRS, PQ 
SR y SR
= 2PQ. M es el punto medio de PQ, N es el punto medio
de QR y L es un punto en el lado SR tal que LR = 3LS.
Si PQ = 1, entonces la razón entre el área de 
LMN y el área del trapecio PQRS
es
24. Dado que n es un entero positivo, determinar el valor de n que satisface la ecuación
... 
25. Se va a formar un triángulo PQR de tal modo que tenga todos sus lados de longitudes enteras. Si PQ = 37 y QR = m, donde m es un entero fijo menor que 37, ¿cuántas longitudes diferentes puede tener PR?
26. Se define [a] como el mayor entero
que no es mayor que a. Por ejemplo, 
=3. Dada la función
donde x es un entero tal que 
¿cuántos valores
diferentes puede tomar f(x)?
27. Se quiere llenar las casillas restantes de tal modo que cada uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, y 6 aparece en cada fila y columna del tablero que se muestra. ¿De cuántas maneras se puede lograr esto?
28. a1, a2, a3, ... , a15 son números reales positivos tales que
a1 + a2 + a3 + ... + a15 = 152.
Además, para cada n entre 1 y 15, se pueden seleccionar n
números del conjunto a 1, a2 , a 3...
, a 15 tales que su suma es un entero.
El menor valor que el mayor de los números a 1, a 2,
a 3 ... , a 15 puede tomar es
29. Un tren se descompone una hora después de comenzar un cierto recorrido. El ingeniero se toma media hora para repararlo, pero el tren sólo puede continuar a la mitad de su velocidad original y llega a su destino con 2 horas de retraso. Si la demora hubiera ocurrido 100 km más adelante en el recorrido, el tren habría llegado con sólo 1 hora de retraso. La distancia, en kilómetros, del recorrido total es
30. Se va a implantar un sistema de emergencia
en un parque nacional. Los puestos de guardias van a interconectarse por una
red de líneas telefónicas. Cada estación debe estar en comunicación con cada
una de las demás estaciones o bien directamente o bien por medio de una tercera
estación. Cada estación puede comunicarse directamente con a lo sumo tres de
las estaciones restantes. El diagrama muestra un ejemplo de una tal red que
interconecta siete estaciones.
¿cuál es la mayor cantidad de estaciones que pueden interconectarse de esta
manera?
Esta y otras pruebas con sus soluciones las puede conseguir en Publicaciones de Matemáticas.