(Para los estudiantes investigadores)
¡Hola! Bienvenidos al Concurso Futuros
¡Matemáticos! Queremos comenzar por explicarles un poco sobre el concurso.
Vamos a proponer una serie de problemas relacionados. Ustedes tendrán hasta el 15 de junio para enviarnos por escrito sus soluciones a los problemas. Es un proyecto investigativo. Esto significa que pueden consultar entre sí con otros compañeros que están participando en el concurso, pueden consultar libros y pedir orientación a su profesor.
Inclusive pueden someter resultados parciales a nosotros los organizadores para que les evaluemos el trabajo y les indiquemos por qué lado vale la pena seguir y, de pronto, cuáles de sus ideas deben replantearse o replantearse. No importa si no han podido resolver todos los problemas propuestos; todo lo que se ha logrado vale y estamos muy interesados en conocer las ideas que han tenido y cómo las han organizado.
A su profesor estamos enviando una serie de indicaciones sobre cómo se deben presentar las soluciones. Además de ser una experiencia muy agradable, el torneo cuenta con muy buenos premios. Así que manos a la obra!
Problema 1. El Precio es Perfecto.
En el programa de televisión, El Precio es perfecto, Cleofe ganará todos los premios si puede identificar el número misterio. Mario J, el presentador del programa, dice:
"El número misterio de esta noche es el mayor número de 7 dígitos que tiene las siguientes dos propiedades:
Veamos lo que ustedes pueden ganar en este juego. Resolver los puntos siguientes.
(a) Hallar los tres dígitos que no puede contener el número y explicar por qué no pueden estar allí.
(B) Hallar el número misterio y explicar por qué es el mayor número de 7 dígitos que tiene estas dos propiedades.
Problema 2. Dragones
Un n-dragón es un conjunto de n enteros positivos consecutivos. Las primeras dos terceras partes de los números se llaman la cola, la tercera parte restante se llama la cabeza, y la suma de los números que pertenecen a la cola es igual a la suma de los números que pertenecen a la cabeza. Por ejemplo, los 9 enteros consecutivos 2,3,4,5,6,7,8,9 y 10 forman un 9-dragón.
Su cola es 2,3,4,5,6,7 seis números cuya suma es 27
Su cabeza es 8,9,10 tres números cuya suma es 27
Problema 3. Polígonos rectos
Llámese polígono recto a un polígono si cada uno de sus ángulos interiores mide o bien 90° o bien 270°.
Por ejemplo, la figura a la derecha representa un polígono recto de 10 lados. Comenzando en el punto de partida que se muestra en el diagrama y recorriendo el polígono de la dirección indicada, los ángulos se encuentran en la sucesión 90°,90°,90°,270°,270°,90°,90°,270°,90° y 90°. Decimos que un polígono recto es semejante a otro si, dada una sucesión de (todos los) ángulos del primero, existe la misma sucesión de (todos los) ángulos en el segundo, si se escoge el punto de partida y la dirección apropiadamente.
Por ejemplo, el polígono recto a la izquierda es semejante al polígono anterior. (¡Comprobar!) Decimos que polígonos rectos semejantes pertenecen a la misma familia.
El polígono recto de la derecha no pertenece a la misma familia que los dos anteriores porque, no importa el punto de partida o la dirección escogida, no se puede obtener la misma sucesión de ángulos. (¡Comprobar!)
Ahora les invitamos a resolver estos problemas.
1. Sólo existe una familia de polígonos rectos de 4 lados y una familia de polígonos rectos de 6 lados, mientras que hay cuatro familias de polígonos rectos de 8 lados.
2. (a)Dibujar un miembro de cada familia de polígonos rectos de 10 lados.
(b)Explicar por qué no hay mas familias de polígonos rectos de 10 lados.
3. Si r representa la cantidad de ángulos rectos que ocurren como ángulos interiores, demostrar que r es igual para todos los polígonos rectos de n lados.Por ejemplo, todos los polígonos rectos de 10 lados tienen 7 ángulos interiores rectos (de 90°). Hallar una fórmula para r en términos de n si n es par.
4. (a)Un polígono recto tiene exactamente seis ángulos de 90° y éstos son consecutivos. ¿Cuántos lados tiene? Dibujar un tal polígono.
(b)Un polígono recto tiene exactamente seis ángulos de 270° y éstos son consecutivos. ¿Cuántos lados tiene? Dibujar un tal polígono.
5.¿Cuántos polígonos rectos de 12 lados hay?
6.Un polígono recto tiene 100 ángulos de 90°. ¿Cuántos lados tiene?
7.Demostrar que, en un polígono recto, el número de ángulos de 270° es menor en 4 al número de ángulos de 90°.
Esperamos sus soluciones lo antes posible, pero en todo caso para el 15 de junio. ¡Qué les vaya muy bien!