I OLIMPIADA BOLIVARIANA DE MATEMATICAS

Nivel Intermedio - Primer Día

1. Se seleccionan 3 dígitos al azar distintos de 0. Se pega uno de esos tres dígitos en la frente de Ana, otro de los dígitos en la frente de Betty y el último dígito en la frente de Carolina, de tal modo que ninguna de las niñas puede ver el dígito que ella misma tiene en su frente. Además las niñas están en cubículos con vidrios especiales de tal modo que Ana puede ver a Betty y a Carolina, mientras que Betty sólo puede ver a Carolina y Carolina sólo a Betty. El objetivo para cada niña es deducir cuál es el dígito que lleva en la frente. El juez les informa que el número formado por los dígitos que tienen

Ana, Betty y Carolina

en ese orden es un cuadrado perfecto.

Después de esto Ana dice: "No puedo saber cuál es mi dígito".

En seguida Betty dice: "No puedo saber cuál es mi dígito".

Finalmente, Carolina dice: "Yo sí sé cuál es mi dígito".

Cuál es el dígito que Carolina tiene en la frente? Explicar.

Después de esto, ¿es posible que Betty sepa cuál es el dígito que tiene en la frente? Explicar.

Es posible ahora que Ana sepa cuál es el dígito que tiene en la frente? Justificar su respuesta.

2. Sea ABCD un rectángulo tal que AB=1cm y BC=2cm. Sea K el punto medio de AD.

(a) Encontrar la razón en la que se cortan los segmentos BK y AC.

(b) Sean L el punto de intersección de AC con BK y M y N los puntos medios de BK y AC respectivamente. Encontrar el área del triángulo LMN.

3. Un rectángulo ABCD de caucho de m x n se dobla de modo que AB coincide con DC para obtener un cilindro. Luego se une los extremos de este cilindro para formar una llanta. De este modo la llanta tiene mn casillas. Cada una de las casillas de la llanta junto con las cuatro casillas vecinas que comparten un lado con ella forma una figura de cinco casillas, a la que vamos a llamar cruz. Encontrar todos los valores de m y n para los cuales la llanta obtenida se puede recubrir con cruces, de manera tal que todas las casillas estén cubiertas por alguna cruz y no haya dos cruces superpuestas.