I OLIMPIADA BOLIVARIANA DE MATEMATICAS

Nivel Intermedio - Segundo Día

1. En un torneo de fútbol hay 20 equipos, cada uno de los cuales juega exactamente una vez con cada uno de los demás equipos. En cada partido el ganador obtiene 3 puntos, mientras que el perdedor no obtiene puntos, y en caso de empate cada equipo obtiene 1 punto.

(a) Al final del torneo se suman los puntos obtenidos por todos los equipos. ¿Cuáles son todos los posibles valores de este total?

(b) Al final del torneo el equipo campeón obtuvo P puntos. ¿Cuáles son todos los posibles valores que puede tener P?

Nota: El equipo campeón es aquél que obtuvo el mayor puntaje al final y puede suceder que dos o más equipos obtengan el máximo puntaje.

2.

(a) ¿Es posible dividir un triángulo equilátero en 4 triángulos equiláteros?

(b) ¿Es posible dividir un triángulo equilátero en 5 triángulos equiláteros?

(c) Demostrar que cualquier triángulo equilátero se puede dividir en n triángulos equiláteros, para cualquier n>5.

3. Encontrar el número de formas de escribir enteros no negativos en cada casilla de un tablero de n x n, de modo que la suma de los números en cada fila y cada columna es igual a 3 y en cada fila y en cada columna sólo puede haber uno o dos números diferentes de cero.