I OLIMPIADA BOLIVARIANA DE MATEMATICAS

Nivel Superior - Primer Día

1.
(a) Sea ABCD un rectángulo tal que AB=1cm y BC=2cm. Sean

K el punto medio de AD, L el punto de intersección de AC con BK y M y N los puntos medios de BK y AC respectivamente. Encontrar el área del triángulo LMN

(b) Sea ABCD un rectángulo tal que AB=1cm y BC=ncm. Sean C' y D' puntos sobre los segmentos BC y AD respectivamente, de modo que ABC'D' es un cuadrado y E un punto del segmento BC tal que EC=1cm. Sean L y M los puntos de intersección de BD' con AC y AE respectivamente y N el punto de intersección de C'D' y AC. Encontrar el área del triángulo LMN.

2. Un rectángulo ABCD de caucho de m x n se dobla de modo que AB coincide con DC para obtener un cilindro. Luego se une los extremos de este cilindro para formar una llanta. De este modo la llanta tiene mn casillas. Cada una de las casillas de la llanta junto con las cuatro casillas vecinas que comparten un lado con ella forma una figura de cinco casillas, a la que vamos a llamar cruz. Encontrar todos los valores de m y n para los cuales la llanta obtenida se puede recubrir con cruces, de manera tal que todas las casillas estén cubiertas por alguna cruz y no haya dos cruces superpuestas.

3. Sea n un entero positivo par. Hallar todas las triplas de números reales (x,y,z) tales que