I OLIMPIADA BOLIVARIANA DE MATEMATICAS

Nivel Superior - Segundo Día

1. Encontrar todos los enteros positivos a,b,c tales que ab+bc+ca es un número primo y

2. (a) Sean a1, A1, a2, A2, a3, A3 números reales positivos tales que ai+ Ai=k, donde k es una constante dada. Demostrar que

a1 A 2 + a 2 A 3 + a 3 A 1 < k 2 ,

(b) Sean a 1 , A 1 , a 2 , A 2 , a 3 A 3 , a 4 , A 4 reales positivos tales que a i + A i = k, donde k es una constante dada.
Si a i > = A i , demostrar que

a 1 A 2 + a 2 A 3 + a 3 A 4 + a 4 A 1 < = k 2 ,

y determinar cuando se tiene la igualdad.


3. Encontrar el número de formas de escribir enteros no negativos en cada casilla de un tablero de n x n, de modo que la suma de los números en cada fila y cada columna es igual a 3 y en cada fila y en cada columna sólo puede haber uno o dos números diferentes de cero.


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