Problema 1 (5 puntos)

Encontrar todas las funciones que sean integrables en cualquier intervalo [0,x] si x>0 y , que satisfacen la condición

para cualquier número real

Nota: Para una partición del intervalo

...

se define la suma integral de la función f(t) como . La función f(t) se denomina integrable en si existe el límite finito de las sumas integrales de f(t) cuando se procede a refinar la partición de .

Problema 2 (6 puntos)

Sobre un número natural n se permite realizar las siguientes operaciones. El número n se escribe en cualquier base distinta de n . Después se efectúan cualesquier permutaciones de las cifras de n para obtener nuevos números.
Un número primo se llama superprimo si como resultado de todas las operaciones permitidas se obtienen números primos. Encontrar todos los números superprimos.

Sean A y x matrices de reales positivos de dimensiones respectivamente. Demostrar que si A² x = x entonces Ax = x.

Supongamos que un grupo abeliano (A,+) se expresa como la unión de dos conjuntos . Para cualquier se define . Demostrar que si la intersección entre B y C es no vacía entonces

Sea ... un polinomio de grado positivo con coeficientes reales tal que . Sean las raíces de p(x), donde i² = - 1. Para cada k=1,2,...,n se define la función

donde es la recta real extendida, . Encontrar la función tal que

Problema 6 (7 puntos)

Sea para cualquier entero n>1 . Encontrar

En el plano se mueve de cualquier manera un punto (un cerdo) con velocidad no superior a 1km/h, describiendo una curva continua , donde es un intervalo de tiempo de una hora. Se sabe que el cerdo se encuentra inicialmente en un cuadrado de lado 8km. En el centro de este cuadrado se encuentra un demonio de Tasmania ciego que no puede saber la posición del cerdo, pero puede moverse con cualquier velocidad. Encontrar una curva continua (el camino recorrido por el demonio de Tasmania) tal que en algún momento de tiempo se obtiene la igualdad , es decir, el demonio de Tasmania atrapa al cerdo independientemente del camino que éste último escoja.