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IV Olimpiada Iberoamericana de Matemática Universitaria
Problema 1 (4 puntos) Las raíces de un polínomio de grado cuatro con coeficientes complejos están ubicadas en los vértices de un rectángulo con lados de longitud a y b en el plano complejo. Encontrar la distancia entre las raices de la segunda derivada de este polinomio.
Problema 2 (5 puntos) Una función derivable La suma o diferencia (simétrica) de dos conjuntos A y B se define como
Inicialmente los 1024 subconjuntos de un conjunto de 10 elementos están escritos cíclicamente en una circunferencia. Simultáneamente entre cada dos subconjuntos vecinos se escribe una suma. Después todos los conjuntos anteriores se borran. ¿Cuáles conjuntos estarán escritos en la circunferencia después de repetir esta operación 2001 veces? Problema 4 (5 puntos)Sea Problema 5 (6 puntos) Sea f una función del intervalo [0,1] en el conjunto de
números reales tal que para cualesquiera
Demostrar que si x es racional entonces f(x) es racional. Calcular
Problema 7 (8 puntos) Sea
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satisface la desigualdad 
para todo 
y
al menos para un real x0 esta desigualdad es estricta, es
decir, 
.
Demostrar que la función 
no tiene raíces. 
. 
un
númeero real y consideramos 
las soluciones reales de la ecuación 
.
Hallar los valores de a
para los cuales la serie 
converge. 
se cumplen las siguientes condiciones:
tiene por los menos una solución. 
tal que el sistema infinito de desigualdades
tal que la cardinalidad del conjunto de soluciones del siguiente sistema
infinito de desigualdades