Problema 1 (4 puntos)

Encontar el valor de la serie

Problema 2 (5 puntos)

Los vertices de un triángulo ABC pertenecen a la hipérbola xy=1. Demostrar que su ortocentro también pertenece a esta hipérbola.

Sean 0 < x₁ < x₂ < ... < x_n todas las raíces del polinomio f(x) = a_nxⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... +a₁x + a₀ , con n>1. Si y₁ , y₂..., y_n son todas las raíces del polinomio g(x) = f(x) - x f´(x) y z₁ , z ₂ , ... , z_n todas las raíces del polinomio h(x) = f(x) +xf´(x) , demostrar que estas raíces son reales y satisfacen

La suma de dos cuadrados perfectos consecutivos puede ser un cuadrado perfecto, por ejemplo 3² + 4² = 5 ² . Encontrar el menor entero n mayor que 2 para el cual existen n números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es un cuadrado perfecto.

En el juego tetris-5 se utilizan cuatro tipos de fichas que tienen una de sus caras pintadas de negro y otra de blanco tal como se muestran en la siguiente figura.

Las fichas pueden ser colocadas en un tablero cuadriculado de m x n en cualquier posición siempre y cuando no se superpongan y tengan la cara negra hacia arriba.

(a) 2 puntos

Demostrar que se puede recubrir un tablero de 8 x 8 que no contiene sus cuatro esquinas.

(b) 4 puntos

Demostrar que no se puede recubrir un tablero de 1999 x 2001 que no contiene a sus cuatro esquinas.

Sea N = {1,2,3,...} el conjunto de los números naturales y sea N_m = {0,1,2, ..., m - 1} para cualquier número natural m. Demostrar que para cualquier función f , si f: N N_m existe un número real tal que [ ⁿ] f (n) (mod m).

En R³ se define un producto "o" de la siguiente manera:

Demostrar que en cualquier k N si (x,y,z)^k = (0,0,0) entonces x = y = z = 0.