I Olimpiada de Matemáticas De Centro América Y El Caríbe
San José, Costa Rica
Julio 8 de 1999
Prueba:
Problema 1
Se supone que 5 personas conocen, cada una, informaciones parciales diferentes sobre cierto asunto. Cada vez que la persona A telefonea a la persona B, A le da a B toda la información que conoce en ese momento sobre el asunto, mientras que B no le dice a A nada de él.
¿Cuál es el mínimo número de llamadas necesarias para que todos lo sepan todo sobre el asunto?
¿Cuántas llamadas son necesarias si son n personas?
Problema 2
Encontrar un número positivo n de 1000 cifras, todas distintas de cero, con la siguiente propiedad: es posible agrupar las cifras de n en 500 parejas de tal manera que si multiplicamos las dos cifras de cada pareja y sumanos los 500 productos obtenemos como resultado un número n que es divisor de n.
Problema 3
Las cifras de una calculadora (a excepción de 0) están dispuestas en la forma indicada en el cuadro adjunto, donde aparece también de la tecla "+":
Dos jugadores A y B juegan de la manera siguiente: A enciende la calculadora y pulsa una cifra, y a continuación pulsa la tecla "+". Pasa la calculadora a B, que pulsa una cifra en la misma fila o columna que la pulsada por A que no sea la última pulsada por A; a continuación pulsa + y le devuelve la calculadora a A, que repite la operación y así sucesivamente.
Pierde el juego el primer jugador que alcanza o supera la suma 31. ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y cuál es ésta?