II Olimpiada de Matemáticas De Centro América Y El Caríbe
El Salvador 2000
Prueba:
Problema 1
Encontrar todos los números naturales de tres dígitos abc(a ≠ 0), tales que a2 + b2 + c2 es divisor de 26.
Problema 2
Determinar todos los enteros n≥ 1para los cuales es posible construir un rectángulo de lados 15 y n , con piezas congruentes a:
Notas:
- Las piezas no deben superponerse ni dejar huecos.
- Los cuadritos de las piezas son de lado 1.
Problema 3
Sea ABCDE un pentágono convexo (las diagonales quedan dentro del pentágono). Sean P, Q, R y S los baricentros de los triángulos ABE, BCE, CDE y DAE, respectivamente.
Demostrar que PQRS es un paralelogramo y que su área es igual a 2/9 del área del cuadrilátero ABCD.
Nota: El baricentro o centroide es el punto donde concurren las medianas.
- Tiempo de la prueba: 4 horas y 30 minutos.
- Puntuación máxima por problema: 7 puntos.